Dos clases pueden tener la misma media y ser totalmente distintas: en una, todos sacan cerca de un 8; en otra, hay notas de 2 y de 10. La media no distingue esos dos casos, pero la desviación típica sí: mide lo repartidos que están los datos alrededor de la media. Pequeña, datos juntos; grande, datos dispersos.

Qué necesitas saber antes

  • La media. Suma todos los datos y divide entre cuántos hay.
  • Elevar al cuadrado. Un número por sí mismo: (−2)² = 4 (el cuadrado siempre es positivo, y eso importa aquí).
  • La raíz cuadrada. La operación inversa del cuadrado: √2 = 1,4142.

El método

  1. Calcula la media. Suma todos los datos y divide entre el número de datos.

  2. Resta la media a cada dato. Son las desviaciones: positivas por encima de la media, negativas por debajo.

  3. Eleva cada desviación al cuadrado. Así todas se vuelven positivas y no se cancelan entre sí al sumarlas.

  4. Calcula la varianza. Haz la media de esos cuadrados: divide su suma entre N si es población, o entre n − 1 si es muestra.

  5. Toma la raíz cuadrada. La raíz de la varianza es la desviación típica, ya en las unidades originales.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 6, 7, 8, 9, 10

Paso 1 — media. (6 + 7 + 8 + 9 + 10) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8.

Paso 2 y 3 — desviaciones y cuadrados. 6 − 8 = −2 → 4; 7 − 8 = −1 → 1; 8 − 8 = 0 → 0; 9 − 8 = 1 → 1; 10 − 8 = 2 → 4. Suma de cuadrados = 10.

Paso 4 — varianza poblacional. 10 ÷ 5 = 2.

Paso 5 — desviación típica poblacional. √2 = 1,4142.

En muestra: varianza = 10 ÷ 4 = 2,5 y s = √2,5 = 1,5811.

Ejemplo 2: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9

Media = 40 ÷ 8 = 5. Cuadrados de las desviaciones: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Varianza poblacional = 32 ÷ 8 = 4, así que σ = 2. En muestra: varianza = 32 ÷ 7 = 4,5714 y s = 2,1381. Datos más dispersos que en el ejemplo 1, y la desviación lo refleja: 2 frente a 1,4142.

Ejemplo 3: 10, 10, 10, 10

Media = 10. Todas las desviaciones son 0, así que la varianza es 0 y la desviación típica es 0. Sin dispersión, desviación cero: tiene sentido.

Ejemplo 4: 0, 10

Media = 5. Desviaciones: −5 y 5; cuadrados: 25 y 25; suma = 50. Varianza poblacional = 50 ÷ 2 = 25, σ = 5. En muestra: varianza = 50 ÷ 1 = 50, s = √50 = 7,0711. Dos datos en los extremos dan una desviación enorme: la media, 5, no representa a ninguno de los dos.

La regla 68-95-99,7

Cuando los datos tienen forma de campana, la desviación típica te dice dónde vive casi todo el mundo: alrededor del 68 % cae a menos de 1σ de la media, el 95 % a menos de 2σ y el 99,7 % a menos de 3σ. Con el ejemplo 1 (media 8, σ = 1,4142), el 68 % cae aproximadamente entre 6,5858 y 9,4142. Es una regla aproximada, pero muy útil para interpretar cualquier desviación de un vistazo.

Errores frecuentes

Practica tú

Calcula la desviación típica poblacional y muestral de cada conjunto (respuestas con 4 decimales):

  1. 4, 6, 8
  2. 3, 3, 3, 9
  3. 5, 15
  4. 1, 2, 3, 4, 5

Respuestas: 1) Poblacional σ = 1,6330 (varianza 2,6667); muestral s = 2. 2) Poblacional σ = 2,5981 (varianza 6,75); muestral s = 3. 3) Poblacional σ = 5; muestral s = 7,0711. 4) Poblacional σ = 1,4142 (varianza 2); muestral s = 1,5811.

Sigue practicando

Usa la calculadora de desviación típica para comprobar cada paso de tus cálculos. Para reforzar la base: