Descomposición en factores primos

La descomposición en factores primos consiste en romper un número en los números primos que, multiplicados, lo forman. Es como desarmar un juguete para ver de qué piezas está hecho. Calculadora Alicia lo muestra con el árbol de factores dibujado paso a paso, rama por rama. Pruébalo en la calculadora mientras lees.

1 Ejemplo trabajado: 60 = 2² × 3 × 5

El método es dividir entre primos, del menor al mayor, hasta que no quede nada por dividir.

Paso 1 — ¿Es par? Sí: 60 ÷ 2 = 30. Anotamos el 2. Primera rama del árbol: 60 se abre en 2 × 30.

Paso 2 — ¿30 es par? Sí: 30 ÷ 2 = 15. Anotamos otro 2. El 30 se abre en 2 × 15.

Paso 3 — ¿15 es par? No. Probamos con 3: 15 ÷ 3 = 5. Anotamos el 3. El 15 se abre en 3 × 5.

Paso 4 — El 5 ya es primo. No se puede dividir más. Llegamos a la punta de esa rama.

Las puntas del árbol son: 2, 2, 3, 5. Todos primos. Terminamos.

Resultado: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.

El árbol se ve así:

        60
       /  \
      2    30
          /  \
         2    15
             /  \
            3    5

Cada nivel abre un número compuesto en dos factores, y se detiene cuando solo quedan primos. En la calculadora verás este árbol dibujado de verdad, con cada rama apareciendo en orden.

Comprobación

Multiplica las puntas: 2 × 2 × 3 × 5 = 4 × 15 = 60 ✓. Si el producto no da el número original, falta o sobra un factor.

El árbol de 36, dibujado rama por rama

El mismo método con otro número, para que veas el dibujo de verdad. El 36 se abre en 2 × 18, el 18 en 2 × 9 y el 9 en 3 × 3. Las hojas verdes son primos: ahí se detiene cada rama.

Lee el árbol de abajo hacia arriba: multiplica las hojas verdes y vuelve al 36 (2 × 2 × 3 × 3 = 36 ✓). Cada bifurcación es una división exacta, igual que en la tabla de divisiones sucesivas: dos dibujos, un solo método.

2 El método en pocas palabras

1. Divide entre 2 mientras el número sea par.
2. Sigue con 3, 5, 7, 11… en orden, dividiendo mientras cada primo quepa exactamente.
3. Para cuando llegues a un primo: esa rama está terminada.
4. Escribe todos los primos como multiplicación, agrupando repetidos con exponentes.

Un atajo útil: solo necesitas probar primos hasta la raíz cuadrada del número que queda. Si ninguno divide, lo que queda ya es primo.

3 ¿Para qué sirve descomponer en factores primos?

No es un ejercicio sin sentido: es una herramienta que se usa en muchos temas.

• Simplificar fracciones. Si numerador y denominador comparten factores primos, se cancelan. Sin descomponer, simplificar es adivinar.
• MCM y MCD. El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor se calculan directamente desde las descomposiciones: el MCD toma los factores comunes con el menor exponente; el MCM toma todos con el mayor.
• Raíces cuadradas. La raíz cuadrada de un número se simplifica agrupando sus factores primos en parejas.

4 Números primos que conviene memorizar

Los primeros primos aparecen en casi todas las descomposiciones: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Con esta lista y las reglas de divisibilidad (par → 2; suma de cifras múltiplo de 3 → 3; termina en 0 o 5 → 5) resuelves la mayoría de los ejercicios sin calculadora.

5 Errores típicos (y cómo evitarlos)

• Dejar un factor compuesto sin abrir. Si en las puntas queda un número como 9 o 15, el árbol no está terminado: hay que seguir dividiendo.
• Probar los primos en desorden. Si divides entre 5 antes de agotar el 2 y el 3, puedes saltarte factores. Ve siempre en orden: 2, 3, 5, 7…
• Olvidar un factor repetido. El 60 tiene dos doses. Al escribir el resultado final, cuenta cada aparición: 2² × 3 × 5, no 2 × 3 × 5.
• Confundir primo con compuesto. El 1 no es primo (no cuenta como factor). El 9, 15, 21 y 25 no son primos aunque “parezcan” pequeños.

6 Preguntas frecuentes sobre factores primos

¿Qué es la descomposición en factores primos? Es expresar un número como multiplicación de números primos. Por ejemplo, 60 = 2² × 3 × 5. El árbol de factores muestra visualmente cada división hasta llegar a los primos.

¿Qué es un número primo? Un número mayor que 1 que solo se puede dividir exactamente entre 1 y entre sí mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13… El 2 es el único primo par.

¿Cómo se dibuja el árbol de factores? Se escribe el número arriba y se abre en dos factores debajo, unidos por ramas. Cada factor compuesto se vuelve a abrir hasta que todas las puntas sean números primos.

¿Para qué sirve en la escuela? Para simplificar fracciones, calcular el MCM y el MCD, y simplificar raíces cuadradas. Es la base de varios temas de secundaria.

7 Ejemplos rápidos

Desliza para ver tres descomposiciones, de la rutinaria al caso especial.

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