x² − 5x + 6 = 0, ¿cuánto vale x? Las ecuaciones de segundo grado tienen hasta dos soluciones, y el discriminante te dice cuántas hay antes de calcularlas. Esta calculadora aplica la fórmula completa, explica cada paso y cubre los tres casos: dos raíces reales, raíz doble y raíces complejas.

📐 Calculadora de ecuaciones de segundo grado

Resuelve: ax² + bx + c = 0

La fórmula y el discriminante

La fórmula general es:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

El número dentro de la raíz se llama discriminante, Δ = b² − 4ac, y su signo lo decide todo:

  • Δ > 0 → dos raíces reales distintas. La parábola corta el eje x en dos puntos.
  • Δ = 0 → una raíz doble. La parábola toca el eje x en un solo punto.
  • Δ < 0 → dos raíces complejas. La parábola no toca el eje x; las soluciones usan la unidad imaginaria i.

Ejemplo 1: 2x² − 4x − 6 = 0 (dos raíces)

Paso 1 — discriminante. Δ = (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64.

Paso 2 — fórmula. x = (4 ± √64) ÷ 4 = (4 ± 8) ÷ 4.

Soluciones: x₁ = 12 ÷ 4 = 3 y x₂ = (−4) ÷ 4 = −1.

Comprobación con x = 3: 2 × 9 − 12 − 6 = 18 − 18 = 0. ✅

Ejemplo 2: x² + 2x + 1 = 0 (raíz doble)

Paso 1 — discriminante. Δ = 2² − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0.

Paso 2 — fórmula. x = −2 ÷ 2 = −1.

Solución doble: x = −1. De hecho, x² + 2x + 1 = (x + 1)², así que la raíz −1 está «repetida».

Ejemplo 3: x² + 1 = 0 (raíces complejas)

Paso 1 — discriminante. Δ = 0² − 4 × 1 × 1 = −4.

Paso 2 — fórmula. x = (0 ± √−4) ÷ 2 = ±2i ÷ 2.

Soluciones: x₁ = i y x₂ = −i, donde i² = −1. No hay soluciones reales, pero sí complejas.

Ejemplo 4: x² − 5x + 6 = 0

Δ = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1) ÷ 2, así que x₁ = 3 y x₂ = 2. Comprobación con x = 2: 4 − 10 + 6 = 0. ✅

Errores comunes

Olvidar el −b. La fórmula empieza con −b, no con b. Con b = −4, −b = 4: ese cambio de signo decide las soluciones.

Equivocarse en 4ac con signos. En 2x² − 4x − 6 = 0, 4ac = 4 × 2 × (−6) = −48, así que Δ = 16 − (−48) = 64. Restar un negativo suma.

Decir «sin solución» con Δ < 0. Sin solución real, sí; pero hay dos soluciones complejas. En muchos cursos se piden, así que no dejes el ejercicio en blanco.

Usar la fórmula con a = 0. Sin x² no es de segundo grado: es de primer grado y se resuelve con x = −c/b.

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