x² − 5x + 6 = 0, ¿cuánto vale x? Aquí la x aparece al cuadrado, así que no basta con despejar: hace falta la fórmula general, y antes de usarla conviene calcular el discriminante, que te dice cuántas soluciones hay sin calcular ninguna.

Qué necesitas saber antes

  • Resolver ecuaciones de primer grado. El despeje y la comprobación por sustitución son la base de todo esto.
  • Elevar al cuadrado con signos. (−4)² = 16, no −16: el menos se multiplica por sí mismo.
  • La raíz cuadrada. √64 = 8, y √−4 no existe en los reales (ahí entran los complejos).

El método

  1. Identifica a, b y c. Escribe la ecuación como ax² + bx + c = 0. Cuidado con los signos: en 2x² − 4x − 6 = 0, a = 2, b = −4, c = −6.

  2. Calcula el discriminante. Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, dos raíces reales; si Δ = 0, una raíz doble; si Δ < 0, dos raíces complejas.

  3. Aplica la fórmula. x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. Haz las dos ramas: una con + y otra con −.

  4. Comprueba sustituyendo. Cada raíz, metida en la ecuación original, debe dar 0.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: 2x² − 4x − 6 = 0 (dos raíces)

Paso 1 — coeficientes. a = 2, b = −4, c = −6.

Paso 2 — discriminante. Δ = (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 − (−48) = 16 + 48 = 64. Como Δ > 0, hay dos raíces reales.

Paso 3 — fórmula. x = (4 ± √64) ÷ 4 = (4 ± 8) ÷ 4. Así que x₁ = 12 ÷ 4 = 3 y x₂ = (−4) ÷ 4 = −1.

Paso 4 — comprobación. Con x = 3: 2 × 9 − 12 − 6 = 18 − 18 = 0. ✅ Con x = −1: 2 × 1 + 4 − 6 = 0. ✅

Ejemplo 2: x² + 2x + 1 = 0 (raíz doble)

Δ = 2² − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0. Como Δ = 0, hay una raíz doble: x = −2 ÷ 2 = −1. De hecho, x² + 2x + 1 = (x + 1)², así que la raíz −1 está «repetida». En la gráfica, la parábola toca el eje x en un solo punto.

Ejemplo 3: x² + 1 = 0 (raíces complejas)

Δ = 0² − 4 × 1 × 1 = −4. Como Δ < 0, no hay raíces reales. Con la unidad imaginaria i (i² = −1): x = (0 ± √−4) ÷ 2 = ±2i ÷ 2, así que x₁ = i y x₂ = −i.

Ejemplo 4: x² − 5x + 6 = 0

Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. x = (5 ± 1) ÷ 2, así que x₁ = 3 y x₂ = 2. Comprobación con x = 2: 4 − 10 + 6 = 0. ✅

Errores frecuentes

Practica tú

Resuelve cada ecuación y comprueba sustituyendo:

  1. x² − 3x + 2 = 0
  2. x² + 6x + 9 = 0
  3. x² − 4x + 5 = 0
  4. 3x² − 12 = 0

Respuestas: 1) Δ = 9 − 8 = 1; x = (3 ± 1) ÷ 2 → x₁ = 2, x₂ = 1. 2) Δ = 36 − 36 = 0; raíz doble x = −3. 3) Δ = 16 − 20 = −4; raíces complejas x = 2 + i, x = 2 − i. 4) Δ = 0 − 4 × 3 × (−12) = 144; x = (0 ± 12) ÷ 6 → x₁ = 2, x₂ = −2.

Sigue practicando

Usa la calculadora de ecuaciones de segundo grado para comprobar cada discriminante y cada raíz. Para reforzar la base: