Todo número se puede desarmar en piezas más pequeñas. La descomposición en factores primos lo desarma hasta llegar a las piezas más pequeñas posibles: los números primos. Es como desarmar un juguete hasta los tornillos.

¿Para qué sirve? Para simplificar fracciones, calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, y entender de qué está “hecho” cada número. Aquí lo aprendes con el 72.

Qué necesitas saber antes

  • Qué es un número primo. Un número que solo se puede dividir entre 1 y entre sí mismo: 2, 3, 5, 7, 11, 13… El 1 no es primo.
  • Dividir con soltura. El método es una cadena de divisiones. Si la división larga te cuesta, repasa la guía de cómo hacer divisiones.
  • Potencias (solo la idea). 2³ significa 2 × 2 × 2. Es una forma corta de escribir multiplicaciones repetidas. Nada más.

El método: divisiones sucesivas

  1. Escribe el número y divídelo entre el primo más pequeño que lo divida de forma exacta (empieza siempre por el 2).
  2. Toma el cociente y repite: divídelo entre el primo más pequeño posible.
  3. Sigue hasta que el cociente sea 1.
  4. Multiplica todos los divisores que usaste: esa es la descomposición. Agrupa los repetidos con potencias.

Dos trucos para ir rápido: un número es divisible entre 2 si termina en cifra par; entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3; entre 5 si termina en 0 o 5.

Ejemplo completo: descomponer el 72

Hacemos la tabla de divisiones sucesivas:

PasoDividimosEntreCociente
172236
236218
31829
4933
5331

Leamos lo que pasó: el 72 se dividió entre 2 tres veces seguidas (72 → 36 → 18 → 9). El 9 ya no es par, así que pasamos al 3: dos divisiones entre 3 (9 → 3 → 1). Llegamos al 1: terminamos.

Los divisores que usamos, en orden: 2, 2, 2, 3, 3.

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3².

El árbol de factores

Hay otra forma de verlo, más visual: el árbol. Empiezas con el 72 arriba y lo vas partiendo en dos factores hasta que solo queden primos:

        72
       /  \
      8    9
     / \  / \
    4  2 3  3
   / \
  2   2

Las “hojas” del árbol (abajo del todo) son: 2, 2, 2, 3, 3. Los mismos factores. El árbol y la tabla son el mismo método con distinto dibujo: usa el que te resulte más claro.

El árbol de 36, dibujado

Otro ejemplo con el dibujo de verdad. El 36 se abre en 2 × 18, el 18 en 2 × 9 y el 9 en 3 × 3. Las hojas verdes son números primos: ahí termina cada rama.

Las hojas verdes (2, 2, 3, 3) ya son primos: el árbol termina. 36 = 2² × 3².

La comprobación

Multiplica los factores: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 8 × 9 = 72. Si el producto no da el número original, algún divisor se te escapó.

Para qué sirve en la vida real (de estudiante)

La descomposición no es un ejercicio decorativo. Es la llave de tres puertas:

  • Simplificar fracciones. Si numerador y denominador comparten factores primos, los cancelas. 18/24 = (2 × 3²)/(2³ × 3) = 3/4.
  • Mínimo común múltiplo. Para sumar fracciones necesitas el mcm, y el mcm se construye con los factores primos de cada denominador.
  • Máximo común divisor. El mcd de dos números es el producto de sus factores primos comunes, con el menor exponente.

Cuando sumes fracciones o calcules una raíz cuadrada, volverás a estos factores. Aprenderlos bien una vez te ahorra trabajo en tres temas distintos.

Errores comunes

Parar antes de llegar al 1. Si terminas en el 9 y escribes “72 = 2³ × 9”, está incompleto: el 9 no es primo y hay que seguir partiéndolo.

Usar divisores que no son primos. Dividir 72 entre 4 o entre 6 “funciona” como división, pero rompe el método: los factores finales deben ser todos primos. Divide siempre entre primos, del menor al mayor.

Olvidar el exponente. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 se escribe 2³ × 3². Si escribes 2 × 3, estás diciendo otra cosa. Cuenta cuántas veces aparece cada primo.

Probar primos en desorden. Si pruebas el 5 antes que el 3, pierdes tiempo. El orden es: 2, 3, 5, 7, 11… siempre de menor a mayor.

Practica tú

Descompón estos números con la tabla o con el árbol, y compruébalos en la calculadora de factores primos:

  1. 48 = ?
  2. 100 = ?
  3. 60 = ?
  4. 150 = ?

Pista: el 48 empieza con tres divisiones entre 2, igual que el 72.

Sigue practicando

La Calculadora Alicia muestra la descomposición en tabla y en árbol de factores, como en clase. Guías relacionadas: