La raíz cuadrada suena a tema de secundaria avanzada. No lo es: es una pregunta muy simple. √169 pregunta: “¿qué número multiplicado por sí mismo da 169?”.

La respuesta es 13, porque 13 × 13 = 169. Eso es todo lo que significa el símbolo √. Esta guía te enseña a encontrar ese número paso a paso, y qué hacer cuando no sale exacto.

Qué necesitas saber antes

  • Qué es un cuadrado. 5² = 5 × 5 = 25. Elevar al cuadrado es multiplicar un número por sí mismo.
  • Los cuadrados más comunes, de memoria. 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225, 20²=400. Con esta lista resuelves la mayoría de los ejercicios.
  • El símbolo √. Se lee “raíz cuadrada de”. √25 = 5.

El método

  1. Estima el rango. Encuentra dos cuadrados conocidos entre los que esté tu número. Eso te dice entre qué dos enteros está la raíz.
  2. Ajusta por la última cifra. Los cuadrados terminan en patrones fijos: si tu número termina en 9, su raíz (si es exacta) termina en 3 o en 7. Si termina en 6, la raíz termina en 4 o en 6. Esto reduce las pruebas a una o dos.
  3. Comprueba multiplicando. Multiplica el candidato por sí mismo. Si da el número exacto, esa es la raíz.
  4. Si no es exacta, aproxima. La raíz cae entre dos enteros consecutivos. Para un decimal, prueba el punto medio y ajusta.

Patrones de última cifra (memorízalos): 1→1 u 9, 4→2 u 8, 9→3 u 7, 6→4 u 6, 5→5, 0→0.

Ejemplo completo: √169

Paso 1: estima el rango. ¿Entre qué cuadrados conocidos está 169? 10² = 100 y 20² = 400. También 13² = 169 lo sabemos de la lista, pero hagamos como si no: la raíz está entre 10 y 20.

Paso 2: ajusta por la última cifra. 169 termina en 9. Según el patrón, la raíz termina en 3 o en 7. Entre 10 y 20, los candidatos son 13 y 17.

Paso 3: comprueba. 13 × 13 = 169. Exacto a la primera.

Resultado: √169 = 13.

Fíjate en lo que hicimos: de diez candidatos posibles (11 a 19) pasamos a dos con el truco de la última cifra. Ese es todo el “método” para raíces exactas de números pequeños y medianos.

Cuando la raíz no es exacta

No todos los números son cuadrados perfectos. ¿Qué pasa con √170?

170 está entre 169 (13²) y 196 (14²). Entonces √170 está entre 13 y 14, más cerca de 13. Una buena aproximación: prueba 13,0… 13² = 169, nos falta 1. Probamos 13,04: 13,04 × 13,04 ≈ 170,04. Muy cerca.

√170 ≈ 13,04 (aproximado). En la práctica: estima el rango, di “entre 13 y 14”, y si necesitas decimales, prueba y ajusta. La calculadora de raíz cuadrada hace este tanteo por ti y te muestra cada intento.

El atajo elegante: raíz por factorización

Si el número se descompone en factores primos con exponentes pares, la raíz sale sola: tomas cada primo con la mitad del exponente.

Ejemplo: √144. Descomponemos: 144 = 2⁴ × 3². Mitad de los exponentes: 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12. Comprobación: 12 × 12 = 144. Exacto.

¿Por qué funciona? Porque (2² × 3)² = 2⁴ × 3² = 144. Elevar al cuadrado duplica los exponentes; la raíz los parte por la mitad. Si algún exponente queda impar, la raíz no es exacta — y ya sabes que toca aproximar. La guía de descomposición en factores primos te enseña a factorizar cualquier número.

Errores comunes

Confundir raíz con mitad. √36 no es 18: es 6, porque 6 × 6 = 36. La raíz cuadrada no es dividir entre 2. Es la pregunta inversa de elevar al cuadrado.

Olvidar la comprobación. Siempre multiplica el resultado por sí mismo. Si no da el número original (o muy cerca, si aproximaste), el candidato está mal.

Inventar exactitud. √170 no es 13: es aproximadamente 13,04. Si el cuadrado no sale exacto, dilo. Un ”≈” honesto vale más que un ”=” falso.

Probar números al azar. Sin el rango y sin el truco de la última cifra, calcular raíces es adivinar. Con ellos, son una o dos pruebas.

Practica tú

Encuentra cada raíz (algunas son exactas, otras no). Verifícalas en la calculadora de raíz cuadrada:

  1. √144 = ?
  2. √196 = ?
  3. √200 ≈ ? (pista: está entre 14 y 15)
  4. √81 = ?

Sigue practicando

La Calculadora Alicia resuelve raíces cuadradas mostrando cada paso del cálculo. Guías relacionadas: