Si 10³ = 1000, ¿qué operación deshace ese cálculo y te devuelve el 3? El logaritmo. log₁₀(1000) = 3 se lee: «¿a qué exponente elevo el 10 para obtener 1000?». Es la operación inversa de la potencia, y aparece en escalas como la de los terremotos, el pH o el volumen en decibelios.

Qué necesitas saber antes

  • Las potencias. Sin ellas no hay logaritmo: log_b(x) = r significa exactamente b^r = x.
  • El número e (≈ 2,71828). Es la base del logaritmo natural, ln, el que usan las calculadoras para el cambio de base.
  • Dividir decimales. El cambio de base termina siempre en una división.

El método

  1. Traduce a potencia. log_b(x) = r significa b^r = x. Si reconoces la potencia (como 2³ = 8), ya tienes el logaritmo.

  2. Si no la reconoces, aplica el cambio de base. log_b(x) = ln(x) ÷ ln(b): busca los dos logaritmos naturales en la calculadora y divide.

  3. Comprueba elevando. b elevado al resultado debe devolver x. Si no, revisa la división.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: log₁₀(1000) = 3

Traducción a potencia: ¿10 elevado a qué da 1000? 10³ = 1000, así que el logaritmo es 3. Con cambio de base: ln(1000) ÷ ln(10) = 6,907755 ÷ 2,302585 = 3.

Ejemplo 2: ln(e) = 1

El logaritmo natural de e es 1, porque e¹ = e. Es el ejemplo que define al número e, y el que más aparece en cálculo.

Ejemplo 3: log₂(8) = 3

Traducción: 2³ = 8, así que el logaritmo es 3. Con cambio de base: ln(8) ÷ ln(2) = 2,079442 ÷ 0,693147 = 3. Los dos caminos coinciden, como debe ser.

Ejemplo 4: log₅(25) = 2 y log₁₀(1) = 0

5² = 25, así que log₅(25) = 2. Y log₁₀(1) = 0, porque cualquier base elevada a 0 da 1. El logaritmo de 1 es siempre 0, sea cual sea la base.

Los casos que no existen

  • Número ≤ 0: log(0) y log(−5) no existen. Ninguna potencia de una base positiva da 0 ni un número negativo.
  • Base 1: 1 elevado a cualquier exponente da 1, así que no puede producir ningún otro número.
  • Base negativa o 0: las potencias no forman una función continua, así que no se usan como base de logaritmos.

Errores frecuentes

Practica tú

Calcula cada logaritmo (puedes comprobar con el cambio de base):

  1. log₁₀(100)
  2. log₂(32)
  3. ln(1)
  4. log₄(64)

Respuestas: 1) 2, porque 10² = 100. 2) 5, porque 2⁵ = 32. 3) 0, porque e⁰ = 1 (el logaritmo de 1 es siempre 0). 4) 3, porque 4³ = 64.

Sigue practicando

Usa la calculadora de logaritmos para comprobar cada cambio de base. Para reforzar la base: